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Jacques Fine. Février 2016
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Freiner est un geste extrêmement banal lors de la pratique du vélo. Il est très intuitif et l’action du cycliste sur les manettes de frein peut être exécutée de mille et une façons. Néanmoins cette action peut être mal menée et conduire à une chute.

Dans ce document, nous ne nous intéresserons pas à l’aspect technologique du système de freinage (freins à patins, à disque ou autres) mais nous considérons que nous avons affaire au système courant des vélos de route, c’est-à-dire des freins à patins.

Analyse qualitative.

La figure 1 illustre les forces en présence. On peut distinguer deux types de force :

Les forces motrices. Ce sont les forces qui provoquent le mouvement du cycliste.

Les forces résistantes. Ce sont les forces qui doivent être vaincues par les forces motrices pour que le cycliste puisse avancer.

fig1

Fig.1. Les forces en présence

Sous l’effet de ces forces, le cycliste s’arrêtera lorsque les forces résistantes seront égales aux forces motrices.

Deux incidents peuvent néanmoins se produire :

Analyse quantitative

Dans cette première analyse, nous effectuerons un calcul global, sans différencier la roue avant et la roue arrière. Cette procédure est valable tant que l’on ne s’intéresse pas aux problèmes de glissement ou basculement.

Nous utiliserons les unités légales et non pas les unités familières aux cyclistes, contrairement à d’autres documents présentés sur ce site, et cela afin de ne pas alourdir les équations. Adoptons les notations suivantes :

L’équation du mouvement de translation du cycliste s’écrit :

masse x accélération = -force de pesanteur -force de frottement -résistance de l’air -force de freinage

soit :

for1

équation [1]    

On posera :

fig1
fig1

Avec ces notations, l’équation devient :

fig1

soit :

fig1

La force de freinage B exercée par le cycliste peut être variable dans le temps. Celui-ci peut freiner progressivement ou bien freiner très fort puis relâcher progressivement la manette. Si B varie en fonction du temps, l’équation différentielle n’a pas de solution analytique mais on peut la résoudre numériquement cas par cas.

En revanche, si le cycliste exerce une force de freinage constante, l’équation a une solution analytique qui est présentée ci-après.

Si B est constant, l’intégration de l’équation différentielle [1] aboutit à :

fig1

La distance parcourue x en fonction du temps est solution de l’équation différentielle :

fig1

Compte tenu qu’à l’instant t=0 on a : x=0 , la solution de cette équation est :

fig1

Cette relation peut aussi s’écrire plus simplement:

for1

équation [2]    

La vitesse V s’annulera au bout d’un temps tA donné par :

fig1

La distance xA parcourue par le cycliste jusqu’à l’arrêt sera égale à :

fig1

La force de freinage

Quel peut être l’ordre de grandeur de la force de freinage B ?

Pour répondre à cette question, examinons comment s’obtient cette force B. Il faut prendre en compte :

fig1

Fig.2. Schématisation de l’effet levier du système de freinage

Finalement, on peut exercer sur une roue une force B de freinage de l’ordre de 3 à 4 fois b. L’effort b qu’un cycliste exerce couramment sur une manette est évalué entre 30 et 60 N. En agissant sur les deux manettes, le cycliste peut donc produire une force de freinage totale pouvant aller jusqu’à 500 Newtons.
Notons que le risque de rupture du câble par excès de traction est nul. En effet la résistance d’un câble de frein, généralement constitué par un toron de 19 fils en acier de très forte résistance, est de l’ordre de 3000 Newtons, donc très largement supérieure à l’effort exercé par le cycliste. Si un câble se rompt, c’est par usure progressive de plusieurs fils ou par défaillance du sertissage des embouts.
En pratique, lors d’une randonnée, on n’exerce pas des forces très élevées lors des nombreuses opérations de freinage que l’on est amené à effectuer. Ce n’est seulement que dans des cas exceptionnels que la force devient importante. C’est pourquoi, nous distinguerons :

Le freinage constant

Comme indiqué précédemment, le freinage constant consiste à maintenir la même force sur les manettes durant toute l’opération de freinage. Faisons une application numérique. On adoptera les paramètres suivants

Les temps d’arrêt sont respectivement de 3.02 sec et 3.7 sec
Les distances d’arrêt sont de 14.9 m et de 18.2 m
La figure 3 présente les courbes donnant la vitesse et la distance parcourue en fonction du temps. Sur la figure 4, on trouvera la courbe donnant la variation de la vitesse en fonction de la distance.

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Fig.3. Diagrammes du freinage avec force de freinage constante

Le freinage progressif

En pratique, freiner en maintenant une force B à peu près constante se réalise souvent dans une descente avec pour objectif de garder une vitesse constante. En revanche, maintenir une force B constante lorsque l’on veut s’arrêter, par exemple lorsque l’on aperçoit un panneau STOP, est illusoire car il faudrait que le cerveau humain puisse instantanément adapter la valeur de cette force à la distance qui le sépare du panneau, ce qui paraît impossible. Le cycliste va donc réguler la force B au fur et à mesure qu’il s’approche du point d’arrêt souhaité. Il existe mille manières de faire cette régulation. On les classera cependant en deux types : le type progressif et le type dégressif.
Le type progressif consiste à augmenter progressivement la force B.
Examinons cette manière de freiner en supposant que le cycliste augmente la force B de façon linéaire dans le temps.
On peut écrire :

B=B0 + λt

λ est un paramètre positif définissant l’augmentation de la force B par seconde.

L’équation [1] n’ayant pas de solution analytique, il faut la résoudre numériquement. C’est ce qui a été fait en reprenant les caractéristiques de notre cycliste.

On a fixé la valeur de B0, force exercée lorsque le cycliste commence le freinage à 200 N et on a déterminé la valeur qu’il fallait donner à λ pour que le cycliste s’arrête après avoir parcouru la même distance que dans l’exemple de la figure 3 où la force de freinage reste constante et égale à 250 N, soit 14.9 m. On a obtenu λ= 49.5. La valeur de B est donc donnée par:

B=200 + 49.5 t

Sur la figure 4, on a tracé la courbe donnant la vitesse en fonction de la distance. On constate évidemment qu’au début du freinage, la vitesse diminue moins vite et qu’à la fin du freinage la vitesse diminue plus vite que dans le cas à B=constante. Le temps mis pour s’arrêter est plus court: 2.79 secondes.

Le freinage dégressif

Le type dégressif consiste à freiner très fort au début puis à relâcher progressivement les manettes de frein.

Pour illustrer par des calculs ce mode de freinage, on adoptera là encore l’hypothèse d’une variation linéaire de la force B dans le temps. Le coefficient λ est alors négatif.
Dans l’application numérique qui a été effectuée avec intégration numérique de l’équation [1], on a fixé à 300 N la valeur initiale de la force B et l’on a déterminé la valeur de λ pour que le cycliste s’arrête après avoir parcouru la même distance de 14.9 m. On a trouvé λ=-44.4. La valeur de B est donc donnée par :

B=300 – 44.4 t

La courbe montrant la diminution de la vitesse en fonction de la distance est tracée sur la figure 4.
On constante évidemment une plus forte décroissance de la vitesse au début du freinage et une plus faible décroissance à l’approche du point d’arrêt. Le temps de freinage est allongé par rapport aux autres modes de freinage: 3.8 secondes.

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Fig.4. Comparaison de 3 manières de freiner

Energie dissipée lors du freinage

L’énergie mécanique que fournit le cycliste en appuyant sur les manettes se transforme en chaleur provoquée par le frottement entre les patins et les jantes. Il suffit de toucher les jantes après la descente d’un col pour s’en convaincre.
La valeur de cette énergie, c’est-à-dire de la force B, est donnée par l’intégrale :

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Dans le cas où B reste constant, l’énergie est donc égale à : B xA          xA étant la distance d’arrêt.
Si B est variable, il faut connaître la variation de B en fonction de x, ce qui est le cas si l’on résous par méthode numérique l’équation [1].
Avec les applications numériques faites précédemment, on obtient :

pour B=constante= 250 N, l’énergie est de : 3726 Joules
pour B progressif avec B=200 + 49.5 t, l’énergie est de : 3680 Joules
pour B dégressif avec B= B=300 – 44.4 t, l’énergie est de : 3770 Joules

On constate, ce qui peut un peu surprendre, que l’énergie n’est pas la même dans les 3 cas. Dans le freinage progressif, cela s’explique par le fait, que le freinage étant plus doux au départ, donc la diminution de vitesse plus lente, on profite mieux de la résistance de l’air qui a un rôle de frein, rôle que chacun peut constater en se redressant sur son vélo dans une descente. Pour le freinage dégressif, c’est l’inverse, on perd un peu de l’effet de frein de l’air. On en arrive donc à la conclusion que le freinage dégressif use plus les patins de frein que le freinage progressif, ce qui n’est vraiment pas d’une importance primordiale.

Risque de culbute

Le risque de culbute vers l’avant est appréhendé par beaucoup de cyclistes, notamment dans les descentes où l’on a le sentiment qu’un coup de frein sur la roue avant va nous faire passer par dessus le guidon. En pratique, les chutes obtenues par basculement sont plus rares que les chutes dues au glissement que l’on étudiera plus loin, c’est surtout lorsque l’on heurte un obstacle que le risque de culbute est notable.
Lors d’un basculement, il est évident que le premier évènement qui se produit est un décollement du sol de la roue arrière. Quelles sont donc les conditions à remplir pour obtenir ce décollement ?

Le décollement de la roue arrière

Lors d’un freinage, la force d’inertie modifie la répartition du poids sur les roues : la roue avant va être surchargée et la roue arrière déchargée. Il nous faut donc évaluer cette nouvelle répartition du poids ainsi que la force d’inertie.

Pour faire l’évaluation du poids sur les roues, il faut connaître la position du centre de gravité G de l’ensemble vélo-cycliste.
On notera :

Les valeurs de x1 et x2 sont faciles à déterminer : il suffit de disposer d’un pèse-personne. On pèse d’abord l’ensemble vélo et cycliste, on obtient le poids W. Ensuite, on place le pèse-personne sous la roue avant et le cycliste se met en position. On obtient le poids W1.
Si E est l’entraxe entre les deux roues, distance facile à mesurer (l’entraxe pour un vélo de route est compris entre 95 cm et 105 cm), les valeurs de x1 et x2 sont données par :

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Pratiquement, le centre de gravité se situe à la hauteur de la selle, un peu en avant du bec de selle. Evidemment, cette position varie un peu avec la position du cycliste sur son vélo ainsi qu’avec le mouvement des jambes.
En écrivant l’équilibre des moments aux points 1 et 2, obtient les relations suivantes :

for1

équations [3]

Pour évaluer la force d’inertie Fi, on transformera l’énergie cinétique en force équivalente. L’énergie cinétique est égale à :

fig1

On écrira que la variation d’énergie cinétique lorsque le cycliste parcourt une distance dx est égale au travail de la force Fi sur cette distance dx.
On a alors :

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soit :

W V dV= g Fi dx

En dérivant l’équation [2], valable lorsque B est constant, on obtient :

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d'où:

for1

équation [4]

Le décollement se réalisera si la réaction W2 cos i devient nulle, ce qui se traduit par :

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soit :

h Fi= W(x1cos i –h sin i)

En remplaçant Fi par sa formulation [4] et en explicitant Vs , on en tire la valeur de la force de freinage Bc nécessaire pour obtenir le décollement :

for1

équation [5]

Reprenons notre cycliste standard pour une application numérique. La figure 5 donne la force Bc nécessaire pour décoller la roue arrière en fonction de la vitesse du cycliste.

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Fig.5. Force de freinage pour décoller la roue arrière.

On peut remarquer :

Que se passe t-il après le décollement de la roue arrière ?

La relation [5] donnant la force de freinage Bc déclenchant le décollement de la roue arrière ne fait pas de distinction entre roue avant et roue arrière. Cette force de freinage est la force totale de freinage. Peu importe qu’elle soit exercée sur l’un ou l’autre des freins ou sur les deux freins en même temps. En revanche, c’est après le décollement que cela change.
Si le freinage est exercé uniquement sur la roue arrière, dès le décollement, la force de freinage tombe à zéro puisque la roue ne touche plus le sol. La roue va alors retomber et retoucher le sol, puis redécoller et ainsi de suite. Ce n’est donc pas à proprement parler une culbute qui s’ensuivra mais plutôt un glissement. Une chute est alors fort probable.
Si le freinage est exercée uniquement sur la roue avant, la culbute est inévitable sauf si, en une fraction de seconde, le cycliste relâche le frein. Dans ce dernier cas, le cycliste aura raté son freinage puisqu’il aura toutes chances de percuter l’obstacle objet du freinage. Nous ne mettrons pas en équation le mouvement de rotation du vélo et du cycliste, l’intérêt de connaître la vitesse à laquelle la tête du cycliste heurtera le sol étant restreint. L’objectif est de ne pas se mettre en condition de culbute.

Le risque de dérapage

Un second risque du freinage est le dérapage : en exerçant une force de freinage trop grande sur une roue, on peut la bloquer, le pneu glissera sur la chaussée, ce qui entraînera une perte de contrôle de la direction.
Le mécanisme de dérapage est un problème de frottement. Il faut bien savoir en effet que c’est grâce au frottement entre le pneu et la chaussée qu’un cycliste peut rouler. On se rend compte aisément de cela si l’on veut rouler sur un sol verglacé : la moindre accélération risque de vous faire patiner et le moindre freinage risque de vous faire glisser. Sans l’existence de frottement pneu-chaussée, on ne pourrait pas rouler.

Comme un glissement peut affecter seulement l’une des deux roues, il est nécessaire de distinguer maintenant la roue avant et la roue arrière.

Formulation du problème

Pour bien comprendre le mécanisme d’adhérence d’un pneu à la chaussée, imaginons l’expérience suivante :

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Fig.6. Transmission d’un effort sur la roue par frottement

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Fig.7. Forces à prendre en compte lors d’un dérapage

Transposons cette condition au cycliste en train de freiner (voir figure 7).

Pour la roue avant :

La condition de non glissement s’écrit donc:

B1 < W1 cos i tg φ

Pour la roue arrière, la condition s’écrit:

B2 < W2 cos i tg φ

Les valeurs de W1 et W2 ont été calculées précédemment (relations [3]) ainsi que la force d’inertie (relation [4])

Les conditions de non glissement s’écrivent donc :

fig1

ou encore :

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Si l’on ne veut pas faire la distinction entre roue avant et roue arrière, la force de freinage totale Bg=B1+B2 qu’il ne faut pas dépasser est égale à :

Bg=W cos i tg φ

Valeur du coefficient de frottement φ

Tout d’abord, il ne faut pas confondre ce coefficient de frottement avec le coefficient f figurant dans l’équation [1] du mouvement du cycliste, Le coefficient f que l'on appelle également "coefficient de résistance au roulement" caractérise le contact avec la chaussée d’une roue qui tourne alors que tgφ caractérise le frottement d’une roue bloquée.
Ce coefficient tgφ varie en fonction de l’état de la route : la texture de la route et son humidité. Pour une route sèche normalement goudronnée, ce coefficient serait voisin de 0.8 (angle φ de l’ordre de 40 degré) et proche de 0.4 pour une route mouillée.
Une route forestière humide tapissée de feuilles mortes en automne offre un bien plus faible coefficient. Cela devient pire si la route est verglacée.

Ce coefficient tgφ varie aussi en fonction de l’état des pneus. Cela est de votre responsabilité. Non seulement un pneu de vélo ne dispose pas de repère d’usure mais aussi aucune verbalisation par la force publique n’est à craindre pour des pneus trop usés.

Application numérique. Cas 1 : freinage constant

Reprenons notre cycliste standard et cherchons à calculer les forces de freinage B1 et B2 qu’il ne doit pas dépasser. Nous prendrons :

h=1 m
x1=0.60 m
x2=0.40 m donc E=1.00 m
φ=40 degré soit tg φ= 0.84

Il faut ensuite connaître la variation de vitesse V en fonction du temps.
Comme on l’a vu, l’équation du mouvement [1] n’a une solution analytique que dans le cas où B=B1+B2 est constant.
En prenant B=B1+B2 égal à 250 N, la figure 8 donne les valeurs de B1 et B2 qu’il ne faut pas dépasser tout au long de l’opération de freinage.

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Fig.8. Freinage constant de 250 N. Forces limites sur les roues avant et arrière

On constate que la force limite admissible sur la roue avant est forte, voisine de 500 N ce qui veut dire qu’en freinant avec 250 N sur la roue avant, il est impossible de déraper.
En revanche, si l’on freine uniquement avec la roue arrière, le dérapage est assuré.
Si le cycliste répartit la force de freinage totale de 250 N de façon égale sur les deux roues, donc 125 N par roue, aucune roue ne glissera.

Application numérique. Cas 2 : freinage progressif

Reprenons les mêmes valeurs que précédemment pour définir un freinage progressif défini par la relation:

B=200 + 49.5 t

Sur la figure 8 on a tracé les courbes correspondant à ce freinage donnant les valeurs de la force de freinage à ne pas dépasser pour éviter un glissement.
Là encore on constate qu’il n’y a aucun problème pour freiner fortement sur la roue avant, le dérapage est impossible.
En revanche, en freinant uniquement avec le frein arrière, le dérapage de la roue arrière est là encore immédiat.
Si le cycliste met la même force sur le frein avant et le frein arrière, soit au départ 100 N sur chaque roue. On a tracé sur la figure 9 la force de freinage sur chaque roue en fonction du temps, soit au départ 100 N sur chaque roue : on constate sur le graphique qu’après un laps de temps d’environ 2 secondes, la force B2 aura dépassé la limite autorisée. Il y aura alors dérapage de la roue arrière. Si cela se produit, il faut que le cycliste relâche immédiatement le frein arrière s’il arrive à se rétablir.

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Fig. 9. Freinage progressif. Forces limites sur les roues avant et arrière

Application numérique. Cas 3 : freinage dégressif

Sur la figure 10 on a tracé les mêmes courbes que précédemment correspondant à un freinage dégressif défini par :

B=300 – 44.5 t

Là encore on constate qu’il n’y a aucun problème pour freiner uniquement sur la roue avant tandis que c’est le dérapage immédiat en freinant sur la roue arrière.
Si le cycliste utilise les deux freins à part égale soit 150 N au départ du freinage, un dérapage de la roue arrière se produira. On freinera donc d’abord sur la roue avant et ce n’est que plus tard que l’on pourra utiliser le frein arrière.

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Fig.10. Freinage dégressif

Synthèse : comment gérer correctement son freinage

L’équation générale [1] a été établie sans prendre en compte la limitation de la force de freinage B. On vient de voir que non seulement la valeur totale de cette force doit être limitée mais aussi que la répartition de cette force sur les deux roues doit être prise en compte afin d’éviter un dérapage ou une culbute.
Les trois conditions à remplir pour éviter une chute sont reprises ci-dessous:

fig1

Ces relations attirent les remarques suivantes :

Appliquons ces conditions à notre cycliste standard et faisons le rouler à 36 km/h sur trois chaussées : une chaussée normale (tgφ=0.84), une chaussée glissante (tgφ=0.40), et une chaussée extrêmement glissante (tgφ=0.20), ce qui peut arriver par exemple en présence d’une tache d’huile. Les tableaux ci-dessous donnent les conséquences du freinage en fonction de l’intensité du freinage et de sa répartition sur les roues avant et arrière.

fig1

On en tire les conclusions suivantes :

Le freinage d’urgence

Sachant que le freinage d’urgence présente des risques, la question importante est de savoir sur quelle distance on peut espérer pouvoir s’arrêter sans risquer de culbuter ou de déraper. Reprenons nos applications numériques. Avec un coefficient de frottement de 0.8 donc une chaussée normale, le risque de glissement s’obtient pour Bg = 640 N sur une route plate. Quant au risque de culbute, il est fonction de la vitesse initiale, la figure 11 montre que la force Bc est comprise entre 400 et 500 N. On dira donc que sur une chaussée « normale », c’est le risque de culbute que l’on peut craindre en premier, à condition, bien sûr, que le freinage ne se fasse pas sur la roue arrière.
La force de freinage maximale pour éviter tout incident est donc la force Bc. Pour s’arrêter le plus rapidement possible, le cycliste exercera sur la roue avant une force à la limite de la culbute. Cette force limite est donc donnée par l’équation [5].
On va supposer que le cycliste serre le frein très fort en maintenant la même force durant l’opération de freinage c’est-à-dire durant quelques secondes, ce qui est une hypothèse tout à fait réaliste.
En combinant les équations [2] et [5] , on obtient la relation suivante donnant la distance minimum d’arrêt :

fig1

Appliquons cette relation à notre cycliste standard. La figure donne la distance d’arrêt en fonction de la vitesse initiale.
On peut constater qu’un cycliste roulant à moins de 20 km/h peut s’arrêter en moins de 3 m. Un professionnel roulant au voisinage de 45 km/h ne pourra s’arrêter qu’au bout d’une quinzaine de mètres. Dans le cas d’une chute dans un peloton, il est donc improbable que les coureurs se trouvant à moins de quinze mètres de cette chute, puissent éviter de chuter à leur tour. Dans une forte descente où un coureur atteint 90 km/h, une distance de 75 m est nécessaire pour s’arrêter.

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Fig.11. Distance minimum d’arrêt

Conclusions pratiques

L’approche mathématique du freinage effectuée dans ce document confirme des règles connues et permet de les quantifier. On les résumera ainsi :

Finalement, le freinage usuel est une opération sans risques. C’est le freinage d’urgence qui peut poser problème. En une fraction de seconde, le cycliste devra se rendre compte de l’état de la chaussée, de sa vitesse et ajuster l’effort de freinage en conséquence, ce qui demande une certaine expérience. Même des professionnels commettent des erreurs.
En août 2015, aux Etats-Unis, lors du Tour de l’Utah, un coureur irlandais a fait une chute assez effrayante, se soldant par de multiples fractures. L’origine de la chute est un freinage excessif réalisé avant de négocier un virage. Les deux vues ci-après, extraites de la vidéo que l’on peut voir sur Internet, semble montrer que la roue arrière a d’abord dérapé et ensuite qu’elle s’est décollé du sol : à ce moment là, le vélo n’était plus maitrisable et le coureur a percuté un véhicule suiveur. Par ailleurs, on peut se poser la question du choix de la trajectoire pour prendre le virage, l’option prise étant la plus mauvaise (Voir le document « A quelle vitesse aborder un virage ? »). Peut-être le coureur était-il gêné par des véhicules pour aborder le virage à l’extérieur comme les coureurs qui le précédaient.

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Février 2016
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