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GESTION OPTIMALE D’UN PARCOURS CYCLISTE

Jacques Fine. Octobre 2019.
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Le problème que nous allons résoudre est celui d’un cycliste qui veut effectuer un parcours le plus rapidement possible. C'est l'objectif d'un coureur cycliste et plus particulièrement celui d'une course contre la montre.
Un parcours réel est constitué de montées, de descentes, de plats, bref d’un relief plus ou moins accidenté. Compte-tenu de ce relief et compte tenu des capacités physiques du cycliste, il faut donc déterminer la vitesse à laquelle ce cycliste doit rouler afin d’arriver le plus tôt possible.
Il faut tout d’abord caractériser les capacités physiques du cycliste. Nous admettrons :

que le cycliste peut fournir une puissance limitée à une valeur P_max
que le cycliste dispose d'une quantité d’énergie E_max pour effectuer le parcours.

L’objectif est donc de dépenser toute l’énergie disponible car si le cycliste dépense cette énergie avant d’arriver au but, il sera épuisé et risque de ne pas terminer le parcours. Si au contraire, il lui reste encore de l’énergie à l’arrivée, il regrettera de ne pas avoir dépensé cette énergie pour aller plus vite.

Résolution.

Nous définirons le parcours par une série de n tronçons, le tronçon i ayant une longueur D_i et une pente p_i. Si le cycliste roule sur un tronçon de longueur D_i à la vitesse V_i, le temps T_i mis pour parcourir ce tronçon est égal à :

Le temps total mis pour effectuer tout le parcours est la somme des temps partiels, d’où :

Il faut donc minimiser la fonction

Il faut aussi tenir compte du fait que la quantité d’énergie ΣE_i est limitée à E_max, ce qui conduit à une relation liant les vitesses que nous allons établir. Pour rouler à une vitesse V_i sur ce tronçon de pente _pi, la puissance P_i à fournir est donnée par la relation :

L’énergie E_i dépensée est égale à :

On peut remarquer que la puissance et donc l’énergie fournie peut être négative dans les descentes si la pente p, négative pour une descente, est forte. Cela conduira à une condition restrictive qui est détaillée plus loin. L’énergie totale E_max est égale à la somme des énergies E_i, d’où :

En posant

on obtient :

On remarque que K est une constante qui ne dépend que des caractéristiques p_i et D_i du parcours. Il en est de même de E_max et de C_x, ce qui permet d’écrire :

Finalement le problème mathématique que nous avons à résoudre est celui-ci :

Trouver le minimum de la fonction à n variables

sachant que ces variables sont liées par la relation

Ce problème est classique. On peut le résoudre en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Pour cela, on définit la fonction :

L=φ + λg
où λ est une constante inconnue.

Cette fonction doit être minimum puisque g=0 . On est donc en présence d'une fonction L avec n+1 inconnues à minimiser. Il faut donc n+1 équations pour résoudre le problème. Pour cela, on annule les n dérivées partielles de la fonction L, ce qui fournit n équations auxquelles on ajoute la relation g=0 d’où n+1 équations à n+1 inconnues. Le système peut donc être résolu. Dans le cas présent, les dérivées partielles s’écrivent :

Soit :

On constate donc que toutes les vitesses sont égales puisque λ est une constante. De la relation g=0, on tire la valeur de V_i

D’où

La vitesse doit bien sûr être positive. On tire donc de cette relation la valeur minimale de l’énergie dont doit disposer le cycliste pour effectuer le parcours

Conditions restrictives

La vitesse calculée ci-dessus ne sera pas valable dans les deux situations suivantes :

Si cette vitesse nécessite de fournir une puissance P_i supérieure à la puissance P_max, ce qui peut arriver dans les côtes. Dans ce cas là, la vitesse V_i sur le tronçon concerné i sera égale à la vitesse correspondant à la puissance P_max . Cela induit donc une diminution de l’énergie dépensée qui servira dans les autres tronçons. Le calcul de la vitesse V devra donc être recommencé en éliminant le tronçon i.
Si la puissance P_i calculée sur un tronçon i est négative. Cela peut arriver dans les descentes trop fortes et veut dire que le cycliste doit freiner pour rouler à la vitesse V_i. De plus, les calculs ci-dessus considèrent que cette énergie de freinage est emmagasinée par le cycliste et pourra être restituée ensuite, comme si le cycliste fonctionnait comme une batterie rechargeable alors que l’énergie de freinage se dissipe en chaleur sur les freins. Il va de soi que, dans cette situation, le cycliste se mettra en roue libre puisqu’il ira plus vite. La vitesse atteinte sera égale à la vitesse de stabilisation V_s en descente donnée par la relation :

La vitesse V_i sur le tronçon i sera donc égale à V_s et le calcul devra être recommencé en éliminant le tronçon i.

Cas particulier.

La relation à laquelle on a abouti pour calculer la vitesse optimale s’applique aussi si le parcours comporte un seul tronçon. Elle se simplifie alors comme suit :

La vitesse devant être positive, on en tire la valeur minimale de l’énergie nécessaire pour effectuer un parcours de longueur D et de pente p:

E > WD(f+p)

Résumé.

Pour aller le plus vite possible sur un parcours en dépensant toute son énergie, il faut rouler à la même vitesse quelle que soit la pente avec cependant des exceptions possibles dans le cas de fortes montées ou de fortes descentes.
Les vitesses V_i pour chaque tronçon sont calculées à partir des relations du tableau ci-dessous:

Un calculateur pour un parcours schématisé par 10 tronçons au maximum vous est proposé à la fin de ce document.

Application numérique 1.

Un cycliste ayant pour caractéristiques :

W=800 N (#80 kg)
C_x=0.2
Puissance maximale P_max=250 watt
Quantité d’énergie E_max=450 kJ

veut effectuer le plus rapidement possible le parcours 1 défini dans le tableau ci-dessous. Ce parcours très simple comporte 2 tronçons. Le coefficient f de résistance au roulement est de 1%. L’application des formules montre que le cycliste devra rouler à la vitesse constante de 26,70 km/h sur chacun des tronçons. Les conditions restrictives n’invalident pas la formule générale puisque 0 < P_i < P_max pour les deux tronçons.

Supposons maintenant que le cycliste n’obéisse pas à ce programme. Il préfère utiliser sa puissance maximale de 250 watt dans la montée du tronçon 1. Sur ce tronçon, la vitesse pour une puissance de 250 watt sera de 30,06 km/h, le cycliste mettra 1796 s pour l’effectuer et dépensera une énergie de 449102 Joules. L’énergie qui lui restera pour le tronçon 2 sera seulement de 450000-449102, soit 898 Joules, ce qui lui permettra d’effectuer le second tronçon à la vitesse de 22,85 km/h, c’est-à-dire quasiment en roue libre, en un temps de 2363 s. Au total, il aura mis 1796 + 2363= 4159 soit un temps de 1:09:19. On voit donc que sa solution lui fait perdre presque 2 minutes.
Le cycliste se ravise et décide de refaire le parcours en ramenant la vitesse en montée à 25 km/h afin de conserver des forces pour aller plus vite en descente en pédalant et penser arriver plus tôt. Le premier tronçon sera alors effectué en 2160 s avec une puissance de 178 watt et une consommation d’énergie de 384676 Joules. Il lui restera 450000 – 384676= 65324 Joules pour le second tronçon, ce qui lui permettra de rouler à 28,29 km/h et d’effectuer le parcours en 1908 s. Donc au total, le parcours sera effectué en 2160 + 1908= 4068 s, soit un temps de 1:07:48. Cette seconde solution lui fera perdre 23 secondes. La solution du tableau 1 est bien optimale.

Application numérique 2.

Prenons un second parcours obtenu en modifiant seulement la pente du premier tronçon du parcours 1: 2% au lieu de 1%. Le résultat du calcul est donné dans le tableau 2.

On constate que si, dans le premier tronçon, les critères de validité sont obtenus, en revanche, pour le second tronçon la puissance est négative, ce qui veut dire que le cycliste freine. Il faut donc refaire un calcul en fixant la vitesse du second tronçon à la valeur de V_s, vitesse en roue libre, soit 22,77 km/h. Le nouveau calcul donne une vitesse pour le premier tronçon de 19,72 km/h. Le résultat final est donné dans le tableau 3.

Commentaires

La critique la plus importante que l’on peut faire de ce modèle de calcul théorique est d’assimiler le cycliste à un moteur de voiture. La théorie s’applique en effet assez bien à un automobiliste qui voudrait effectuer un parcours le plus rapidement possible mais en dépensant exactement une quantité de carburant fixée à l'avance. Pour une voiture, la source d’énergie est le carburant contenu dans le réservoir. Pour un cycliste, c’est plus complexe. Son énergie provient de la combinaison entre le glucose et l'oxygène de l'air et le cycliste fabrique de l'énergie tout en roulant, ce qui n'est pas le cas pour les voitures. A la rigueur, on pourrait dire que sa réserve de carburant, c'est le glucose dont la quantité est donnée au départ et qu'il consomme en roulant sauf s'il s'alimente durant le parcours.
Le modèle ne peut pas s’appliquer beaucoup à des coureurs en ligne, bien que leur objectif soit bien le même : donner toute son énergie pour arriver le premier. Dans une course en ligne, on roule souvent en peloton afin d’économiser son énergie jusqu’à l’approche de l’arrivée. Si l’on fait une échappée solitaire, on aura difficilement assez d’énergie pour éviter de se faire reprendre par le peloton.
En revanche, le modèle devrait s’appliquer assez bien aux courses contre la montre où l’on roule en solitaire : un départ trop rapide risque d’induire une fin de course plus lente et vice-versa. Ainsi, par exemple, un coureur effectuant sur vélodrome 50 km en une heure dépensera une énergie de 1674759 joules (W=76 kg, C_x=0,15, f=0.6). Le calcul pourra lui indiquer quel temps il mettra en produisant le même effort pour effectuer un parcours sur route accidenté.
Le modèle peut aussi s’appliquer pour un cycliste ayant effectué un parcours en l’enregistrant. A partir de sa trace gpx, il pourra calculer l’énergie qu’il a fournie. La théorie ci-dessus pourra lui indiquer le temps qu’il aurait pu mettre en faisant varier la puissance maximale qu'il peut développer. L’application pourra donc servir à l’analyse a posteriori d’une course.
Quoi qu’il en soit, la vitesse à respecter sur un parcours complexe ne paraît pas évidente. Pour la respecter, il nous paraît difficile de se fier uniquement au cerveau humain. Un ordinateur de bord indiquant la vitesse à tenir paraît indispensable.

CALCULATEUR POUR UN PARCOURS SIMPLIFIE