GESTION OPTIMALE D’UN PARCOURS CYCLISTE

Jacques Fine. Octobre 2019.
contact@velomath.fr
http://www.velomath.fr



Le problème que nous allons résoudre est celui d’un cycliste qui veut effectuer un parcours le plus rapidement possible. C'est l'objectif d'un coureur cycliste et plus particulièrement celui d'une course contre la montre.
Un parcours réel est constitué de montées, de descentes, de plats, bref d’un relief plus ou moins accidenté. Compte-tenu de ce relief et compte tenu des capacités physiques du cycliste, il faut donc déterminer la vitesse à laquelle ce cycliste doit rouler afin d’arriver le plus tôt possible.
Il faut tout d’abord caractériser les capacités physiques du cycliste. Nous admettrons :

L’objectif est donc de dépenser toute l’énergie disponible car si le cycliste dépense cette énergie avant d’arriver au but, il sera épuisé et risque de ne pas terminer le parcours. Si au contraire, il lui reste encore de l’énergie à l’arrivée, il regrettera de ne pas avoir dépensé cette énergie pour aller plus vite.

Résolution.

Nous définirons le parcours par une série de n tronçons, le tronçon i ayant une longueur Di et une pente pi. Si le cycliste roule sur un tronçon de longueur Di à la vitesse Vi, le temps Ti mis pour parcourir ce tronçon est égal à :

fig1

Le temps total mis pour effectuer tout le parcours est la somme des temps partiels, d’où :

fig1

Il faut donc minimiser la fonction

fig1

Il faut aussi tenir compte du fait que la quantité d’énergie ΣEi est limitée à Emax, ce qui conduit à une relation liant les vitesses que nous allons établir. Pour rouler à une vitesse Vi sur ce tronçon de pente pi, la puissance Pi à fournir est donnée par la relation :

fig1

L’énergie Ei dépensée est égale à :

fig1

On peut remarquer que la puissance et donc l’énergie fournie peut être négative dans les descentes si la pente p, négative pour une descente, est forte. Cela conduira à une condition restrictive qui est détaillée plus loin. L’énergie totale Emax est égale à la somme des énergies Ei, d’où :

fig1

En posant

fig1

on obtient :

fig1

On remarque que K est une constante qui ne dépend que des caractéristiques pi et Di du parcours. Il en est de même de Emax et de Cx, ce qui permet d’écrire :

fig1

Finalement le problème mathématique que nous avons à résoudre est celui-ci :

Trouver le minimum de la fonction à n variables

fig1

sachant que ces variables sont liées par la relation

fig1

Ce problème est classique. On peut le résoudre en utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Pour cela, on définit la fonction :

L=φ + λg
où λ est une constante inconnue.

Cette fonction doit être minimum puisque g=0 . On est donc en présence d'une fonction L avec n+1 inconnues à minimiser. Il faut donc n+1 équations pour résoudre le problème. Pour cela, on annule les n dérivées partielles de la fonction L, ce qui fournit n équations auxquelles on ajoute la relation g=0 d’où n+1 équations à n+1 inconnues. Le système peut donc être résolu. Dans le cas présent, les dérivées partielles s’écrivent :

fig1

Soit :

fig1

On constate donc que toutes les vitesses sont égales puisque λ est une constante. De la relation g=0, on tire la valeur de Vi

fig1

D’où

fig1

La vitesse doit bien sûr être positive. On tire donc de cette relation la valeur minimale de l’énergie dont doit disposer le cycliste pour effectuer le parcours

fig1

Conditions restrictives

La vitesse calculée ci-dessus ne sera pas valable dans les deux situations suivantes :

Cas particulier.

La relation à laquelle on a abouti pour calculer la vitesse optimale s’applique aussi si le parcours comporte un seul tronçon. Elle se simplifie alors comme suit :

fig1

La vitesse devant être positive, on en tire la valeur minimale de l’énergie nécessaire pour effectuer un parcours de longueur D et de pente p:

E > WD(f+p)

Résumé.

Pour aller le plus vite possible sur un parcours en dépensant toute son énergie, il faut rouler à la même vitesse quelle que soit la pente avec cependant des exceptions possibles dans le cas de fortes montées ou de fortes descentes.
Les vitesses Vi pour chaque tronçon sont calculées à partir des relations du tableau ci-dessous:

fig1

Deux calculateurs vous sont proposés à la fin de ce document: l'un fonctionne à partir d'un parcours simplifié de 10 sections maximum et l'autre concerne un parcours réel dont le profil est fourni par sa trace gpx.

Application numérique 1.

Un cycliste ayant pour caractéristiques :

veut effectuer le plus rapidement possible le parcours 1 défini dans le tableau ci-dessous. Ce parcours très simple comporte 2 tronçons. Le coefficient f de résistance au roulement est de 1%. L’application des formules montre que le cycliste devra rouler à la vitesse constante de 26,70 km/h sur chacun des tronçons. Les conditions restrictives n’invalident pas la formule générale puisque 0 < Pi < Pmax pour les deux tronçons.

fig1

Supposons maintenant que le cycliste n’obéisse pas à ce programme. Il préfère utiliser sa puissance maximale de 250 watt dans la montée du tronçon 1. Sur ce tronçon, la vitesse pour une puissance de 250 watt sera de 30,06 km/h, le cycliste mettra 1796 s pour l’effectuer et dépensera une énergie de 449102 Joules. L’énergie qui lui restera pour le tronçon 2 sera seulement de 450000-449102, soit 898 Joules, ce qui lui permettra d’effectuer le second tronçon à la vitesse de 22,85 km/h, c’est-à-dire quasiment en roue libre, en un temps de 2363 s. Au total, il aura mis 1796 + 2363= 4159 soit un temps de 1:09:19. On voit donc que sa solution lui fait perdre presque 2 minutes.
Le cycliste se ravise et décide de refaire le parcours en ramenant la vitesse en montée à 25 km/h afin de conserver des forces pour aller plus vite en descente en pédalant et penser arriver plus tôt. Le premier tronçon sera alors effectué en 2160 s avec une puissance de 178 watt et une consommation d’énergie de 384676 Joules. Il lui restera 450000 – 384676= 65324 Joules pour le second tronçon, ce qui lui permettra de rouler à 28,29 km/h et d’effectuer le parcours en 1908 s. Donc au total, le parcours sera effectué en 2160 + 1908= 4068 s, soit un temps de 1:07:48. Cette seconde solution lui fera perdre 23 secondes. La solution du tableau 1 est bien optimale.

Application numérique 2.

Prenons un second parcours obtenu en modifiant seulement la pente du premier tronçon du parcours 1: 2% au lieu de 1%. Le résultat du calcul est donné dans le tableau 2.

fig1

On constate que si, dans le premier tronçon, les critères de validité sont obtenus, en revanche, pour le second tronçon la puissance est négative, ce qui veut dire que le cycliste freine. Il faut donc refaire un calcul en fixant la vitesse du second tronçon à la valeur de Vs, vitesse en roue libre, soit 22,77 km/h. Le nouveau calcul donne une vitesse pour le premier tronçon de 19,72 km/h. Le résultat final est donné dans le tableau 3.

fig1

Commentaires

CALCULATEUR POUR UN PARCOURS SIMPLIFIE CALCULATEUR POUR UN PARCOURS REEL




Haut de page Retour accueil